• 希爾伯特酒店 向孩子解釋無限|費Sir
  • 2019-01-09    
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費 Sir 今年收了一個極之好玩的新學生,是個中法混血的小帥哥 V,才四歳多,活潑好動,思想敏捷,還會講很得意的廣東話!第一次和他上課時,他便問我:最大的數字是什麼?我回答世界上是沒有最大的數字的,然後叫他隨便給我一個:他說 3,我說 4。我叫他再給我一個大一些的:他說 18(他住的樓層),我說 19。跟著,我解釋給他聽:不管你給我一個多大的數字,我也可以找到一個比它更大的,所以根本不存在所謂最大的數字。還有,你要記著,數字是無限的。V 聽到後,頭輕輕地往右邊一斜,想了一下,然後問:什麼是無限?

小朋友提出的問題,費 Sir 重來非常認真對待。V 這樣一問,我想想這、想想那,一下子竟然想不到一個好的方式來解釋給他聽!直至昨天晚上,我在一本談離散數學(Discrete Mathematics) 的書上,讀到了一個非常有趣的答案;對現在年紀的 V 來說,他不會聽得懂,但我看,在不久之將來,他應該能夠明白。讓我在這裡寫出來,先和大家分享。

是希爾伯特酒店。

希爾伯特(Hilbert) 是個大數學家,他為了要解釋有限和無限給他的學生聽,在 1924 年提出了一個關於酒店的思想實驗。之後,人們便稱之為希爾伯特酒店。其内容如下:

首先,假設這間酒店只有 100 個房間,全部住滿後,再來一個人客,便不能接收了。這叫做有限。

現在,假設酒店有無限個房間,而且全部住滿了,再來一個人客,能否接收?答案是可以:酒店經理只需叫每一位已經入住的人客,搬去比自己的房間號碼大 1 的新房間就是了。即是說:1 號房的住客搬到 2 號房,2 號的搬到 3 號,3 號的搬到 4 號,...,n 號的搬到 n+1 號。那騰出來的 1 號房,便可以給新的人客入住了!如果有更多,但有限的新人客想入住酒店,成嗎?用剛剛的方式,再搬一次房間,然後再一次、再一次,... 直至全部(但有限的)新人客被安頓入住,絕對是可以的。

好,到最好玩的情況了:繼續假設酒店有無限個房間,同樣是全部住滿了,現在來了無限個人客,能否接收?答案同樣是可以!今次,酒店經理要叫每一位已經入住的人客,搬去自己的房間號碼乘 2 的新房間就是了。即是說:1 號房的住客搬到 2 號房,2 號的搬到 4 號,3 號的搬到 6 號,...,n 號的搬到 2n 號。大家留意,舊人客全部住進了雙數號碼房間,那騰出來的單數號碼房間,便可以給無·限·的新人客入住了 - 1號,3號,5號,...,2n - 1 號!

這個就是有限酒店,和無限酒店之間的分別 - 有限的住滿了人客便不能再接收;無限的住滿了人客後,還可以繼續接收,甚至可以接收無限個!是不是挺有趣?

V,你快點長大好了,讓我可以早點解釋「無限」這個概念給你聽。我猜你聽懂之後,會說:我才不住無限酒店,一天到晚要搬房!